Kolmiolaskin

Mitä tietoja kolmion laskemiseen tarvitaan?

Kolmion sivut ja kulmat määräytyvät yksikäsitteisesti kelvollisista lähtötiedoista, kun tunnetaan kolme sivua, kaksi sivua ja niiden välinen kulma tai yksi sivu ja kaksi kulmaa. Pelkät kolme kulmaa eivät riitä sivujen pituuksien laskemiseen: samanmuotoisia kolmioita voi olla eri kokoisia. Kahdesta tunnetusta kulmasta kolmas saadaan kaavalla 180° - ensimmäinen kulma - toinen kulma.

Merkitse sivut kirjaimilla a, b ja c sekä niiden vastaiset kulmat kirjaimilla α, β ja γ. Vastainen kulma sijaitsee kyseistä sivua vastapäätä, ei sen päätepisteessä. Piirrä tarvittaessa hahmotelma ja kirjoita tunnetut arvot paikoilleen. Näin esimerkiksi kahden sivun välinen kulma ei sekoitu toisen sivun vastaiseen kulmaan.

Suorakulmainen kolmio ja Pythagoraan lause

Suorakulmaisessa kolmiossa yksi kulma on 90°. Sen vastainen sivu on hypotenuusa, joka on aina kolmion pisin sivu. Kaksi muuta sivua ovat kateetteja. Kun kateetit ovat a ja b ja hypotenuusa c, Pythagoraan lause on a² + b² = c². Hypotenuusa saadaan siis kaavalla c = √(a² + b²).

Jos tunnet hypotenuusan ja yhden kateetin, toinen kateetti saadaan kaavalla a = √(c² - b²). Hypotenuusan täytyy olla tunnettua kateettia pidempi, jotta tuloksena on kolmio. Pythagoraan lausetta ei voi käyttää sellaisenaan vinokulmaiseen kolmioon. Varmista siis suora kulma lähtötiedoista tai mittaamalla, älä pelkän piirroksen ulkonäön perusteella.

Terävät kulmat voi laskea trigonometrian avulla. Jos α on kateetin a vastainen kulma, sin α = a/c, cos α = b/c ja tan α = a/b. Esimerkiksi α = arcsin(a/c), jossa arcsin tarkoittaa sinin käänteisfunktiota. Toinen terävä kulma on 90° - α. Kaavojen tarkistamiseen sopii funktiolaskin, kun kulmayksikkönä käytetään asteita.

Vinokulmaisen kolmion sivut ja kulmat

Kun kolmio ei ole suorakulmainen, keskeiset työkalut ovat sini- ja kosinilause. Kosinilause c² = a² + b² - 2ab cos γ yhdistää kaksi sivua, niiden välisen kulman ja kolmannen sivun. Se soveltuu esimerkiksi tilanteeseen, jossa tunnetaan kaksi reunapituutta ja niiden välinen kulma mutta vastakkaista reunaa ei voida mitata suoraan.

Kun kaikki kolme sivua tunnetaan, kulma voidaan ratkaista samasta lauseesta: γ = arccos((a² + b² - c²)/(2ab)). Sinilause puolestaan on a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Se on hyödyllinen etenkin silloin, kun tunnetaan yksi sivu ja kaksi kulmaa tai yhden sivun ja sen vastaisen kulman muodostama pari.

Kaksi sivua ja kulma, joka ei ole niiden välissä, eivät aina määritä yhtä ainoaa kolmiota. Mahdollisia ratkaisuja voi olla kaksi, yksi tai ei yhtään. Syynä on muun muassa se, että kulmilla α ja 180° - α on sama sini. Tarkista siksi myös toinen kulmavaihtoehto sekä se, jääkö kolmannelle kulmalle positiivinen arvo.

Kolmion pinta-ala ja piiri

Kolmion piiri on sivujen summa p = a + b + c. Pinta-alan peruskaava on A = ah/2, jossa a on valittu kanta ja h sitä vastaan kohtisuora korkeus. Korkeus ei yleensä ole sama kuin viisto sivu. Tylppäkulmaisessa kolmiossa korkeusjana voi osua kannan jatkeelle, mutta pinta-alakaava pysyy samana.

Jos tunnet kaksi sivua ja niiden välisen kulman, pinta-ala saadaan kaavalla A = ab sin γ / 2. Kun tiedossa ovat kaikki kolme sivua, voit käyttää Heronin kaavaa. Laske ensin puolipiiri s = (a + b + c)/2 ja sitten A = √(s(s - a)(s - b)(s - c)). Erillistä korkeusmittaa ei tällöin tarvita.

Pituusyksikkö määrää pinta-alan yksikön: metreistä saadaan neliömetrejä ja senttimetreistä neliösenttimetrejä. Esimerkiksi 1 m² = 10 000 cm², sillä myös muuntokerroin korotetaan toiseen potenssiin. Valmiin tuloksen muuntamiseen voit käyttää pinta-alamuunninta.

Näin tarkistat lähtötiedot ja tuloksen

Kaikkien sivujen täytyy olla positiivisia, ja minkä tahansa kahden sivun summan on oltava kolmatta sivua suurempi. Sivut 2 cm, 3 cm ja 5 cm eivät muodosta varsinaista kolmiota, koska kaksi lyhyempää sivua yltävät vain suoraksi janaksi. Jokaisen kulman on oltava suurempi kuin 0° ja pienempi kuin 180°.

Käytä kaikille sivuille samaa pituusyksikköä. Jos yksi mitta on millimetreinä ja toinen metreinä, yhtenäistä ne ennen laskemista esimerkiksi pituusmuuntimella. Tarkista lopuksi, että suurinta kulmaa vastaa pisin sivu ja kulmien summa on 180°. Pyöristetyissä tuloksissa summa voi poiketa tästä hieman.

Säilytä laskennan välivaiheissa riittävästi desimaaleja ja pyöristä vasta lopputulos. Mittaustulosten tarkkuus rajoittaa myös vastauksen tarkkuutta: senttimetrin tarkkuudella mitatuista sivuista ei yleensä kannata ilmoittaa lopputulosta millimetrin sadasosina. Lähes suoraksi painuneessa kolmiossa pienikin mittausvirhe voi vaikuttaa pinta-alaan huomattavasti.